数双课程介绍(内容提要、课本等) - 数学双学位(DMM)版 - 北大未名BBS

数双课程介绍(内容提要、课本等)

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一位思路广的快乐网友

4.8土拨鼠

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本帖内容采自数院网站2015年发布的课程介绍,仅修订了格式和讹字,加注了一点信息,

以方便阅读。

 

教学内容及课本可能会有变化,仅供参考,请以老师上课时的教学要求为准。

 

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课程名称:数学分析

 

课程编号:00131700

课程类型:必修课,每周4+1学时,5学分

先修要求:高等数学(两学期)

基本目的:

1. 实数与极限的理论、函数的可积性、数项级数,函数列与函数级数一致收敛性的基本

知识。

2. 培养学生的抽象思维和推理能力,加深学生对微积分的理论基础的了解,为进一步学

习后续数学课程作必要的理论准备。

 

内容提要:

 

一. 实数与极限的理论

    1. 实数理论初步及序列极限

    2. 确界存在定理,区间套定理,聚点

    3. 紧性定理(序列紧,有限覆盖,一致连续)

    4. 完备性(哥西基本列,实数的另一种定义)

    5. 上极限与下极限

 

二.连续函数

    1. 连续函数的基本性质

    2. 闭区间上连续函数的性质

    3. 一致连续

 

三. 定积分的理论基础

    1. 定积分的概念与微积分基本定理

    2. 达布和,上积分与下积分

    3. 函数可积性问题与可积函数类

 

四.数项级数

    1. 数项级数的概念

    2. 正项级数

    3. 任意项级数

    4. 级数的性质

    5. 无穷乘积

 

五. 函数列与函数级数的一致收敛性

    1. 基本问题

    2. 一致收敛的概念及其判别法

    3. 一致收敛函数列与函数项级数的性质

 

教学方式:课堂讲授

 

教 材:《数学分析》第一册、第二册,伍胜健,北京大学出版社。

参考书:《数学分析简明教程》,邓东皋等,高等教育出版社。

 

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课程名称:高等代数

 

课程编号:00131710

课程类型:必修课,每周4+1学时,5学分

先修要求:线性代数

基本目的:

1. 高等代数是学习和研究近代数学的重要基础,在自然科学、社会科学、经济领域都有

重要应用。本课程使学生学习和了解多项式、线性空间和线性变换等基本知识。

2. 培养学生具有数学的思维方式、创新精神,以及解决实际问题的初步能力。

 

内容提要:

 

一. 多项式环

    1. 基本概念

    2. 整除性,带余除法,最大公因式

    3. 不可约多顶式,唯一因式分解定理

    4. 重因式

    5. 多项式的根

    6. 复数域、实数域上的不可约多项式

    7. 有理数域上的不可约多项式

    8. 多元多项式

    9. 对称多项式

 

二. 线性空间

    1. 基本概念

    2. 子空间及其交与和,维数公式

    3. 子空间的直和

    4. 商空间

 

三. 线性变换

    1. 基本概念

    2. 线性映射的核和象

    3. 线性映射的矩阵表示

    4. 线性变换可对角化的条件

    5. 不变子空间

    6. Hamilton-Cayley定理,最小多项式

    7. Jordan标准型简介

 

四.具有度量的线性空间

    1. 双线性函数

    2. Euclid 空间

    3. 正交变换和对称变换

    4. 酉空间

 

教学方式:课堂讲授

 

教材:《高等代数》(第二版)下册,丘维声,高等教育出版社。

 

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课程名称:实变函数与泛函分析

 

课程编号:00136360

课程类型:必修课,每周4+1学时,5学分 

先修要求:数学分析

基本目的:

学习Lebesgue测度与Lebesgue积分的基本理论,学习空间的基础知识,学习Hilbert空间

和Banach空间的一般理论。为学生提供实分析和泛函分析的基础知识和基本训练,提高分

析论证能力,培养以抽象空间为工具研究和解决实际问题的能力,学会无穷维空间中处理

线性问题的分析方法。

 

内容提要:

 

一. 集合与点集(8学时)

    1. 集合及其运算

    2. 映射

    3. n维欧氏空间

 

二. Lebesgue测度(8学时)

    1. 外测度与可测集

    2. 可测函数

    3. 可测函数列的收敛性

 

三. Lebesgue积分(12学时) 

    1. 可测函数的积分

    2. Lebesgue积分的极限定理

    3. 重积分与累次积分 

 

四. L^p空间(8学时)

    1. L^p空间

    2. L^p空间

 

五. Hilbert空间(12学时)

    1. 距离空间

    2. Hilbert空间

    3. Hilbert空间上的有界线性算子

 

六. Banach空间(12学时)

    1. Banach空间

    2. Banach空间上的有界线性算子

    3. Banach空间上的连续线性泛函

 

教学方式:课堂讲授

 

教材:《实变函数与泛函分析》,郭懋正,北京大学出版社。

 

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课程名称:近世代数

 

课程编号:00136250

课程类型:必修课,每周4+1学时,5学分

先修课要求:高等代数

基本目的:

本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念,主要是群、环、域的概念,以及有关

群、环、域的基本理论,从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的,为学习现代

数学、物理或其他科学提供基础。

 

内容提要:

 

一. 引论

 

    1. 本课程的研究对象

    2. 域、环、群的定义与简单性质

 

二. 群

    1. 群的例子

    2. 子群,同构,同态

    3. 群在集合上的作用,定义与例子

    4. 群作用的轨道

    5. 陪集,Lagrange定理,稳定化子,轨道长

    6. 循环群与交换群

    7. 正规子群和商群

    8. 同态基本定理

 

三. 域和环

    1. 环的例子,几个基本概念

    2. 整数模n的剩余类环,素数p个元的域

    3. F[x]模某个理想的剩余类环,添加一个多项式的根的扩域

    4. 分式域、素域

    5. 中国剩余定理

    6. 域的扩张,扩张次数,单扩张的构造

    7. 有限域

 

四. 有因式分解唯一性的环

    1. 整环的因式分解

    2. 欧氏环,主理想整环

    3. 交换环上的多项式环

    4. 唯一因式分解环上的多项式环

 

教学方式:课堂讲授

 

教材:《近世代数初步》(第二版),石生明,高等教育出版社。

 

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课程名称:概率论

 

课程编号:00136350

课程类型:必修课,每周4+1学时,5学分

先修要求:微积分,线性代数(或相当高等数学)

基本目的:

1. 本课程的目的是引导学生学习用数学的语言,来刻划、表达与抽象随机现象,着重在

随机现象的“建模”。同时,这一课程也使学生对已学过的集合论、微积分、高等代数等

数学知识有运用的机会,在提高学生分析问题,解决问题的能力方面是一个很好操练机会

2. 重点放在随机现象的刻划,形成概率空间的概念。例如在概率空间这一部份,重在由

等可能性分析过到一般的概率空间。对随机变量,重点也在要学生掌握它的统计特征的刻

划方法。对于古典概型不宜过多陷于排列组合的计算技巧。 

 

内容提要:

 

一. 随机事件及其概率

    1. 概率的素朴定义

    2. 古典概型

    3. 事件的集合表达,事件运算与集合运算的对应

    4. 概率的加法公式

    5. 概率的公理化定义及概率的主要性质

    6. 条件概率(对正概率事件的条件概率)与全概公式

    7. 独立性

 

二. 随机变量

    1. 离散型随机变量及其取值机会的描述

    2. 连续型随机变量及其取值机会的描述

    3. 分布函数

    4. 随机变量函数的分布(简单情形)

    5. 随机变量定义的抽象

 

三. n维随机变量(向量)

    1. n维随机向量统计特征的刻划

    2. 联合分布与边缘分布

    3. 独立性

    4. 随机变量函数的分布(多维)

    5. n维正态分布

    6. 条件分布

    7. 次序统计量

 

四. 随机变量和随机向量的数字特征

    1. 期望(概率加权平均概念的抽象)

    2. 随机变量函数的期望公式

    3. 方差、协方差与相关系数

    4. 条件期望

 

五. 概率极限定理

    1. 大数定律与切比雪夫不等式,强大数律(结果与概念)

    2. 中心极限定理

 

六. 随机过程

    1. 独立增量过程

    2. 马尔可夫链

    3. 分支过程

    4. 平稳过程

 

教学方式:课堂教学

 

教  材:《概率与统计》,陈家鼎、郑忠国,北京大学出版社。

参考书: 1)《概率统计讲义》,陈家鼎等编,高等教育出版社。

        2)《概率论基础教程》,Ross著,郑忠国等译,人民邮电出版社。

 

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课程名称:复变函数

 

课程编号:00136590

课程类型:必修课,每周4+1学时 5学分

先修要求:数学分析、高等代数

基本目的:

理解和掌握复变函数的基本理论,通过学习进一步加强对数学逻辑推理和计算的训练,体

会复变函数所表现的数学的优美之处,了解其相关的应用。

 

内容提要:

 

1. 复数及扩充复平面

2. 解析函数概念

3. Cauchy定理和Cauchy公式

4. Laurent级数

5. 留数定理和辐角原理

6. 解析开拓

7. Riemann映射定理简介

 

教学方式:课堂讲授

 

教材或参考书:

1)《复变函数简明教程》,谭小江、伍胜健,北京大学出版社。

2)《复变函数教程》,方企勤,北京大学出版社。

3) Ahlfors,L.V.: Complex Analysis, 3rd ed. McGraw-Hill.

 

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课程名称:统计学

 

课程编号:00136840

课程类型:必修课,每周4+1学时 5学分

先修要求:概率论

基本目的:

数理统计学是研究如何有效地收集数据,如何对数据进行推理,以便对问题进行推断或预

测,从而对决策和行动提供依据和建议。数理统计学是应用广泛的基础性学科。通过教学

,使学生掌握这门科学的基本概念和基本思想。基本的统计方法及有关的理论。使学生了

解大量实际问题的类型及与数理统计学的联系。还要求学生能正确进行计算和使用统计表

 

内容提要:

 

1. 数理统计的研究对象,数理统计的基本概念

2. 参数估计的方法(最大似然估计,矩估计)       

3. 估计的优良性标准(均方误差,UMVU估计)

4. 估计的相合性和渐近正态性

5. 置信区间

6. 假设检验的提法与两类错误,N-P引理及似然比检验

7. 广义似然比检验和关于正态总体的检验

8. 拟合优度检验

9. 一元线性回归,多元线性回归(参数估计和检验)

10. 预测和控制

11. 变量选择和方差分析

12. 统计决策与贝叶斯分析简介

 

教学方式:课堂教学

 

教  材:《概率与统计》,陈家鼎、郑忠国,北京大学出版社。

参考书:《概率统计讲义》,陈家鼎、刘婉如、汪仁官,高等教育出版社。

 

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课程名称:常微分方程

 

课程编号:00136260           

课程类型:必修课,每周4+1学时,5学分

先修要求:高等数学、线性代数

基本目的:

1. 掌握几类一阶微分方程的初等解法。

2. 掌握高阶线性方程及线性方程组的基本理论及常系数高阶线性方程和线性方程组的解

法。

3. 掌握微分方程的基本理论,如解的存在唯一性、解的延伸和对   初值及参数的连续依


赖性。

4. 掌握二阶微分方程的斯托姆--刘维尔边值问题的理论。

 

内容提要:

 

1. 微分方程的初等积分法

2. 解的存在唯一性、解的延伸及解对初值和参数的连续依赖性

3. 常系数线性微分方程组

4. 方程的幂级数解法

5. 二阶线性微分方程的边值问题

6. 首次积分与一阶偏微分方程

 

教学方式:课堂讲授

 

教材或参考书:

1)《常微分方程教程》第二版,丁同仁、李承治,高等教育出版社。

2)《常微分方程》,王高雄等,高等教育出版社。

3)《常微分方程》, V.I.Arnol'd,科学出版社。

 

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课程名称:拓扑学

 

课程编号:00136240

课程类型:选修课,每周4+1学时,5学分 

先修要求:高等代数、近世代数

基本目标:

1. 拓扑学是学习和研究近代数学的重要基础,本课程使学生了解拓扑学的基本概念。

2. 使学生得到抽象思维和逻辑推理的训练,提高数学能力。

 

内容提要:

 

1.拓扑空间及有关的基本概念;连续映射和同胚映射,乘积空间和拓扑基

2. 分离公理和可数公理;紧致性和连通性

3. 拓扑流形和闭曲面分类定理

4.基本群

 

教学方式:课堂讲授为主

 

教材:《基础拓扑学讲义》,尤承业,北京大学出版社。

 

【注:本课作为双学位课程似乎未曾开过。】

 

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课程名称:微分几何

 

课程编号:00136230

课程类型:选修课,每周4+1学时,5学分 

先修要求:高等代数、线性代数、解析几何

 

基本目的:

1. 熟悉欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状。

2. 掌握欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算。

3. 掌握欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法。

4. 了解曲面内蕴微分几何的意义,基本概念和理论。

 

内容提要:

 

一. 曲线论:曲线的曲率和挠率,Frenet公式,曲线论基本定理

 

二. 曲面论:

    1. 曲面的第一基本形式

    2. 曲面的第二基本形式,法曲率,主曲率,主方向,平均曲率,Gauss曲率

    3. Gauss-Codazzi方程

    4. 曲面论基本定理

 

三. 曲面内蕴微分几何:Gauss定理,测地曲率,测地线,Gauss-Bonnet公式

 

教学方式:课堂讲授。

 

教材:《微分几何初步》,陈维桓,北京大学出版社。

 

【注:本课作为双学位课程似乎未曾开过。】

 

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课程名称:运筹学

 

课程编号:00136220        

课程类型:选修课,每周4+1学时,5学分

先修要求:无

 

基本目的:

1. 从运筹学的来源:军事、管理、经济等几个方面入手,进行基本案例分析,使学生了

解运筹学的重要意义。

2. 掌握求解运筹学基本问题的基本方法。

3. 学会用计算机解决运筹学的问题。

 

内容提要:

 

下面的各个内容都将包含基本案例分析。通过实例,揭示运筹学的意义性。

1. 线性规划、对偶问题、运输问题及其求解方法

2. 整数规划、指派问题、物流合理化

3. 动态规划及其应用

4. 图与网络,网络最大流及最短路问题

5. 对策与决策,它们在竞争、对抗、利益分配方面的应用,在金融、管理的应用

6. 随机服务系统, 系统的优化

7. 存贮论的基本概念,确定性与随机性存贮模型

 

教学方式: 课堂讲授与上机试验相结合

 

教材或参考书:

1)《运筹学》,清华大学出版社。

2)《实用运筹学》,魏国华等,复旦大学出版社。

 

【注:高立老师的《数值最优化方法》已经由北京大学出版社出版。】

 

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课程名称:数学应用软件

 

课程编号:00136830

课程类型:选修课,每周4+1学时,5学分(包括讲授、习题、上机实习)

先修要求:统计学,计算机基础

 

基本目的:

本课程力图让统计和数学双学位的同学在一个学期时间内掌握统计和数学中常用的专用软

件的基本知识,能够学会用这些专用软件解决问题。在学习软件同时,巩固学生对概率统

计和数学中有关概念的掌握,加深理解。

 

内容提要:

 

本课程讲授统计专业和数学专业用到的专用软件。统计软件讲授SAS系统的使用。SAS系统

是国际公认的权威性大型数据管理、分析、开发系统,可以完成大部分实际的统计数据分

析任务。数学软件讲授LaTeX排版系统和Matlab矩阵计算系统。LaTeX是数学界乃至自然科

学界撰写论文的最常用工具软件,用好LaTeX对科研工作是一大帮助。Matlab是流行的矩

阵计算系统,在科学工程计算中有很多应用。

 

1. SAS系统入门和SAS/INSIGHT的探索性数据分析

2. SAS语言及数据管理

3. SAS报表和图形功能

4. 常用统计问题如何在SAS中处理,如假设检验,回归分析,方差分析等

5. LaTeX排版常识,如基本文章结构、公式、制表、插图、幻灯演示

6. Matlab矩阵计算介绍,包括矩阵计算、数据输入输出、程序控制结构、子程序

 

教学方式:课堂教学,上机

 

教材:《统计软件教程》,李东风,人民邮电出版社。

 

 

※ 修改:·notabene 於 02月26日10:30:34  修改本文·[FROM: 24.7.29.162] 

发表于2015-02-26 10:25:36

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