请教微分方程解的形式 - 数学(Mathematics)版 - 北大未名BBS
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请教微分方程解的形式

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楼主

pkucoepxh [在线]

青天

2.8一般站友

发帖数:131 原创分:0
<ASCIIArt> 1楼

对于$\dot{x}=-kx$,其中$k>0$是正常数,$x\in \mathbb{R}^{n}$, 易知$x$的解为$x(t)=\exp(-kt)x(0)$。


那么请教各位大神的问题是:


(1)对于$\dot{x}=-k\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$,其中$k>0$是正常数,$x\in \mathbb{R}^{n}$,其解的形式是如何?


或者


(2)对于$\dot{x}=-k\tanh(x)$,其中$k>0$是正常数,$x\in \mathbb{R}^{n}$,其解的形式是如何?

 最后修改于2020-10-24 16:32:09
  • 发表于2020-10-24 16:30:28

EMK [离线]

EMK

1.0一般站友

发帖数:28 原创分:0
<ASCIIArt> 2楼

1.-k(1+x^2)^(1/2)+C

2.-k(xtanhx+(1/2)ln|1-x^2|)+C,这个C在-1、+1分割R的三个定义域内有各自的值

pkucoepxh (青天) 在 ta 的帖子中提到:

对于$\dot{x}=-kx$,其中$k>0$是正常数,$x\in \mathbb{R}^{n}$, 易知$x$的解为$x(t)=\exp(-kt)x(0)$。

那么请教各位大神的问题是:

(1)对于$\dot{x}=-k\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$,其中$k>0$是正常数,$x\in \mathbb{R}^{n}$,其解的形式是如何?

……

发表于2020-10-24 18:21:42
楼主

pkucoepxh [在线]

青天

2.8一般站友

发帖数:131 原创分:0
<ASCIIArt> 3楼

不是求此类积分解,是求解关于时间的解。


对于$\dot{x}=-kx$,积分解是$x=-kx^2/2+C$。然而,这里指的是$d/dt(x(t))=-kx(t)$,它关于时间的解是$x(t)=\exp{-kt}x(0)$, $x(0)$是$t=0$时的解,对$x(t)$沿时间积分可以证明$\d/dt(x(t))=-k\exp{-kt}x(0)=-kx(t)$,说明$\exp{-kt}x(0)$这种解的形式是正确的。


对于另外两类关于时间解的形式,我没求解出来,求帮助!


EMK (EMK) 在 ta 的帖子中提到:

1.-k(1+x^2)^(1/2)+C

2.-k(xtanhx+(1/2)ln|1-x^2|)+C,这个C在-1、+1分割R的三个定义域内有各自的值

发表于2020-10-24 19:42:41

rgds [离线]

如果当时|捏不到的小道长

8.7本站元老

发帖数:2.0万 原创分:6
<ASCIIArt> 4楼

哪一步下不去


全程都是正常的ODE套路吧


pkucoepxh (青天) 在 ta 的帖子中提到:

不是求此类积分解,是求解关于时间的解。


对于$\dot{x}=-kx$,积分解是$x=-kx^2/2+C$。然而,这里指的是$d/dt(x(t))=-kx(t)$,它关于时间的解是$x(t)=\exp{-kt}x(0)$, $x(0)$是$t=0$时的解,对$x(t)$沿时间积分可以证明$\d/dt(x(t))=-k\exp{-kt}x(0)=-kx(t)$,说明$\exp{-kt}x(0)$这种解的形式是正确的。


对于另外两类关于时间解的形式,我没求解出来,求帮助!

签名档

——妈这菜好咸。

——过十分钟再吃。

——为什么?

——时间可以冲淡一切。

发表于2020-10-24 22:16:57

ChairmanJ [离线]

僵还是老的辣

4.4维尼熊

发帖数:3357 原创分:2
<ASCIIArt> 5楼

1. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%2Fdt%3D-k*x%2Fsqrt%281%2Bx%5E2%29


2. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%2Fdt%3D-k*tanh%28x%29

pkucoepxh (青天) 在 ta 的帖子中提到:

对于$\dot{x}=-kx$,其中$k>0$是正常数,$x\in \mathbb{R}^{n}$, 易知$x$的解为$x(t)=\exp(-kt)x(0)$。

那么请教各位大神的问题是:

(1)对于$\dot{x}=-k\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$,其中$k>0$是正常数,$x\in \mathbb{R}^{n}$,其解的形式是如何?

……

签名档


 最后修改于2020-10-24 23:22:07
  • 发表于2020-10-24 23:21:44
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