求教一个问题 - 数学(Mathematics)版 - 北大未名BBS
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求教一个问题

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楼主

hemei [在线]

miverr

0.7新手上路

发帖数:23 原创分:0
<ASCIIArt> 1楼

对于双线性函数f(x,y),如果由f(x,y)=0总能推出f(y,x)=0,证明f是对称的或者反对称的。

发表于2020-10-28 20:28:32

rgds [离线]

如果当时|捏不到的小道长

8.7本站元老

发帖数:2.0万 原创分:6
<ASCIIArt> 2楼

也就是说 x’Ay=0 当且仅当 x’A’y=0


不妨设 A 非零。


把y用标准基向量代进去,知道 A 和 A’ 对应列成正比。同理对应行也成正比,所以 A’=kA,转置一下 A=kA’。把 A’ 消掉。A 非零所以 k 是正负1。



hemei (miverr) 在 ta 的帖子中提到:

对于双线性函数f(x,y),如果由f(x,y)=0总能推出f(y,x)=0,证明f是对称的或者反对称的。

签名档

我怀念的~是无话可说~

发表于2020-10-29 01:28:11

survivor [离线]

TEETOTALER|每天都是一种练习

5.2亚洲

发帖数:1.0万 原创分:30
<ASCIIArt> 3楼

不一定是有限维的啊!


我的证明:

对于线性空间中任意元素a,b,c。我们有

f(a, f(a,c)*b - f(a,b)*c) = f(a,c)*f(a,b) - f(a,b)*f(a,c) = 0.


由条件有f(f(a,c)*b - f(a,b)*c,a)=0。即f(a,c)*f(b,a)=f(a,b)*f(c,a). 代入c=a+b,得


(f(a,a)+f(a,b))*f(b,a) = f(a,b)*(f(a,a)+f(b,a)), 

f(a,a)*(f(a,b)-f(b,a))=0。


记集合W={a属于V|f(a,a)=0}. 显然W对数乘封闭。而由上面的式子,如果f(a,b)不等于f(b,a),立得a,b都属于W。

再注意到f(a,a+b) = f(a,a) + f(a,b)不等于f(a,a) + f(b,a) = f(a+b,a)。从而a+b也属于W。


现在假设f不是对称的,则存在线性空间中元素a和b使得f(a,b)不等于f(b,a),那么a,b都属于W。我们断言此时W=V。否则存在元素c属于V-W。那么对任意元素x都有f(c,x)=f(x,c)。特别地,注意到

f(a,b+c) = f(a,b) + f(a,c) = f(a,b) + f(c,a) 不等于 f(b,a) + f(c,a) = f(b+c,a)。那么b+c属于W。

下面分两种情况讨论:

(1)基域F是特征2的。那么0=f(b+c,b+c)=f(b,b)+2f(b,c)+f(c,c)=f(c,c),与c不属于W矛盾!

(2)基域F不是特征2的。那么f(a,2b)=2f(a,b) 不等于 2f(b,a)=f(2b,a)。对a,2b和c进行上面的论证,可得2b+c属于W。

联立得到

0=f(b+c,b+c)=f(b,b)+2f(b,c)+f(c,c)=2f(b,c)+f(c,c);

0=f(2b+c,2b+c)=4f(b,b)+4(b,c)+f(c,c)=4f(b,c)+f(c,c).

则f(b,c)=f(c,c)=0,同样与c不属于W矛盾!

所以W=V。

最后如果W=V,则对于线性空间中任意元素a和b,我们有0=f(a+b,a+b) = f(a,a)+f(b,b)+f(a,b)+f(b,a)=f(a,b)+f(b,a),从而f是反对称的。


所以f要么是对称的,要么是反对称的。


rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

也就是说 x’Ay=0 当且仅当 x’A’y=0


不妨设 A 非零。


把y用标准基向量代进去,知道 A 和 A’ 对应列成正比。同理对应行也成正比,所以 A’=kA,转置一下 A=kA’。把 A’ 消掉。A 非零所以 k 是正负1。


签名档

关上灯/音乐声却响起了

房间里/只有孤独成歌

又是漫漫长夜

无声地捕捉不到/灵魂的骚动

回忆还活着/活着

--陈绮贞《观察者》

 最后修改于2020-10-29 14:47:02
  • 发表于2020-10-29 08:20:03
楼主

hemei [在线]

miverr

0.7新手上路

发帖数:23 原创分:0
<ASCIIArt> 4楼

懂了 非常感谢!!

rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

也就是说 x’Ay=0 当且仅当 x’A’y=0


不妨设 A 非零。


把y用标准基向量代进去,知道 A 和 A’ 对应列成正比。同理对应行也成正比,所以 A’=kA,转置一下 A=kA’。把 A’ 消掉。A 非零所以 k 是正负1。


发表于2020-10-29 13:43:16

rgds [离线]

如果当时|捏不到的小道长

8.7本站元老

发帖数:2.0万 原创分:6
<ASCIIArt> 5楼

害怕


survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到:

不一定是有限维的啊!

我的证明:

对于线性空间中任意元素a,b,c。我们有

……

签名档

怎么了~你妹的~说好的幸福呢~~

发表于2020-10-29 14:08:13

rgds [离线]

如果当时|捏不到的小道长

8.7本站元老

发帖数:2.0万 原创分:6
<ASCIIArt> 6楼

中间没看懂 @@ 为什么 W 是线性子空间


考虑实平面上的二次型 diag(1,-1),W 是两条直线 @@


survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到:

不一定是有限维的啊!

我的证明:

对于线性空间中任意元素a,b,c。我们有

……

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就这样过了十二点还没有一个人祝我生日快乐





可能因为今天不是我生日吧

发表于2020-10-29 14:24:54

survivor [离线]

TEETOTALER|每天都是一种练习

5.2亚洲

发帖数:1.0万 原创分:30
<ASCIIArt> 7楼

啊我一开始确实证错了……捂脸


改了一下,最后不需要(也证不出来)W是线性子空间。

rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

中间没看懂 @@ 为什么 W 是线性子空间


考虑实平面上的二次型 diag(1,-1),W 是两条直线 @@

签名档

时间是熟睡的脸/说着梦的语言

--陈绮贞《时间的歌》

 最后修改于2020-10-29 14:47:56
  • 发表于2020-10-29 14:32:16

richardo [离线]

小R | 吕归尘·阿苏勒·帕苏尔

7.8剑魔

发帖数:6051 原创分:10
<ASCIIArt> 8楼

害怕

rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

也就是说 x’Ay=0 当且仅当 x’A’y=0


不妨设 A 非零。


把y用标准基向量代进去,知道 A 和 A’ 对应列成正比。同理对应行也成正比,所以 A’=kA,转置一下 A=kA’。把 A’ 消掉。A 非零所以 k 是正负1。



发表于2020-10-29 14:57:39

rgds [离线]

如果当时|捏不到的小道长

8.7本站元老

发帖数:2.0万 原创分:6
<ASCIIArt> 9楼

我想到的一种改法是


如果 f(a,b) 不等于 f(b,a) 那么 a+b 属于 W,所以 f(a+b,a+b)=f(a,b)+f(b,a)=0。也就是说 V 是线性子空间 V_a={b属于V | f(a,b)=f(b,a)} 和 V’_a={b属于V | f(a,b)=-f(b,a)} 之并,所以至少其中一个等于 V。再考虑线性子空间 {a属于V | V_a=V} 和 {a属于V | V’_a=V}。


rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

中间没看懂 @@ 为什么 W 是线性子空间


考虑实平面上的二次型 diag(1,-1),W 是两条直线 @@

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刚才一个小偷溜进我家,到处找钱





后来我们一起找了起来

发表于2020-10-29 15:12:58
楼主

hemei [在线]

miverr

0.7新手上路

发帖数:23 原创分:0
<ASCIIArt> 10楼

牛逼牛逼!

rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

我想到的一种改法是


如果 f(a,b) 不等于 f(b,a) 那么 a+b 属于 W,所以 f(a+b,a+b)=f(a,b)+f(b,a)=0。也就是说 V 是线性子空间 V_a={b属于V | f(a,b)=f(b,a)} 和 V’_a={b属于V | f(a,b)=-f(b,a)} 之并,所以至少其中一个等于 V。再考虑线性子空间 {a属于V | V_a=V} 和 {a属于V | V’_a=V}。

发表于2020-10-29 18:16:14

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:329 原创分:2
<ASCIIArt> 11楼

这其实还是有点想复杂了lol 其实只需证明不存在向量x,y,z,w使f(x,y)-f(y,x)和f(z,w)+f(w,z)均非零,故只需对<=4维线性空间上的双线性型证明结论:p


这题题设的一个推论是任意向量x关于f的正交补well-defined,无需区分左右。于是若f(x,x)非零则向量空间可分解成x生成的一维空间与其正交补的直和。接着有限维的便利是可以由此对维数归纳说明f是一个对称双线性型和一个反对称双线性型的直和,最后容易看出当前者不反对称而后者不对称的时候题设不能成立。

survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到:

不一定是有限维的啊!

我的证明:

对于线性空间中任意元素a,b,c。我们有

……

 最后修改于2020-11-01 07:00:58
  • 发表于2020-11-01 06:46:48

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:329 原创分:2
<ASCIIArt> 12楼

另外这个statement里把A’换成B是不对的——任意两个对角矩阵都满足对应行、列分别成比例的条件。In general这个条件只能推出A和B分块对角 (in some common way) 并且对角块各自成比例

rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

A 和 A’ 对应列成正比。同理对应行也成正比,所以 A’=kA,

 最后修改于2020-11-01 07:01:20
  • 发表于2020-11-01 06:56:41

shuxuemi [离线]

数学迷

3.0清龙

发帖数:206 原创分:0
<ASCIIArt> 13楼

为什么他们做这么麻烦。。。


如果f(x,x)总是0那就是交错的,否则取定一个x使f(x,x)不是0,我们来证明f是对称的。


先看f(x,y)这种,如果f(x,y)=0那么由条件确实f(x,y)=f(y,x);对一般的y,由于f(x,x)不是0,你把y加上适当倍数的x就会化归到前一句话。所以总是f(x,y)=f(y,x)。


那么要证明对f(y,z)=f(z,y)。如果f(x,y)≠0,由于你已经知道f(y,x)=f(x,y),所以把z加上适当倍数的x就能和y正交从而得到等式;如果f(x,y)=0你把y加上一个x就化归到上一句话了。


所以存在x使得f(x,x)≠0的时候总是对称的。

hemei (miverr) 在 ta 的帖子中提到:

对于双线性函数f(x,y),如果由f(x,y)=0总能推出f(y,x)=0,证明f是对称的或者反对称的。

发表于2020-11-03 14:52:17

shuxuemi [离线]

数学迷

3.0清龙

发帖数:206 原创分:0
<ASCIIArt> 14楼

根本不需要分这么多情况,,,

survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到:

不一定是有限维的啊!

我的证明:

对于线性空间中任意元素a,b,c。我们有

……

发表于2020-11-03 14:52:53

shuxuemi [离线]

数学迷

3.0清龙

发帖数:206 原创分:0
<ASCIIArt> 15楼

哦,我倒数第二段多了个“对”

shuxuemi (数学迷) 在 ta 的帖子中提到:

为什么他们做这么麻烦。。。

如果f(x,x)总是0那就是交错的,否则取定一个x使f(x,x)不是0,我们来证明f是对称的。

先看f(x,y)这种,如果f(x,y)=0那么由条件确实f(x,y)=f(y,x);对一般的y,由于f(x,x)不是0,你把y加上适当倍数的x就会化归到前一句话。所以总是f(x,y)=f(y,x)。

……

发表于2020-11-03 14:53:45

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:329 原创分:2
<ASCIIArt> 16楼


其实倒数第二段就是存在a,b使得f(y+ax,z+bx)=0,而由前段知此零点处的对称性推出f(y,z)=f(z,y)。这个存在性explicitly讨论出来反而看着有点迷


当然这本来就是迷神的层<_<

shuxuemi (数学迷) 在 ta 的帖子中提到:

为什么他们做这么麻烦。。。

如果f(x,x)总是0那就是交错的,否则取定一个x使f(x,x)不是0,我们来证明f是对称的。

先看f(x,y)这种,如果f(x,y)=0那么由条件确实f(x,y)=f(y,x);对一般的y,由于f(x,x)不是0,你把y加上适当倍数的x就会化归到前一句话。所以总是f(x,y)=f(y,x)。

……

 最后修改于2021-01-29 07:49:47
  • 发表于2020-11-05 09:33:34

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:329 原创分:2
<ASCIIArt> 17楼

或者也可以这样:前两段也蕴含在2维空间上结论成立;对任意y,z存在a,b使得f(y+ax,z+bx)\neq -f(z+bx,y+ax),于是f(y+ax,z+bx)=f(z+bx,y+ax),f(y,z)=f(z,y)

shuxuemi (数学迷) 在 ta 的帖子中提到:

为什么他们做这么麻烦。。。

如果f(x,x)总是0那就是交错的,否则取定一个x使f(x,x)不是0,我们来证明f是对称的。

先看f(x,y)这种,如果f(x,y)=0那么由条件确实f(x,y)=f(y,x);对一般的y,由于f(x,x)不是0,你把y加上适当倍数的x就会化归到前一句话。所以总是f(x,y)=f(y,x)。

……

 最后修改于2021-01-29 07:50:01
  • 发表于2020-11-05 10:15:41

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:329 原创分:2
<ASCIIArt> 18楼

其实撒大师3l一开头的式子大概也有点把零点explicitly写出来的意思,可见有时候太explicit反而不见得清晰易懂


然后他的讨论应该主要是没有注意到char 2时对称反对称是一样的,于是直接reduce到2维情况了

yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到:


其实倒数第二段就是存在a,b使得f(y+ax,z+bx)=0,而由前段知此零点处的对称性推出f(y,z)=f(z,y)。这个存在性explicitly讨论出来反而看着有点迷


当然这本来就是迷神的层<_<

 最后修改于2021-01-29 07:50:12
  • 发表于2020-11-05 10:25:55
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