求教一个问题
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不一定是有限维的啊！
我的证明：
对于线性空间中任意元素a,b,c。我们有
f(a, f(a,c)*b - f(a,b)*c) = f(a,c)*f(a,b) - f(a,b)*f(a,c) = 0.
由条件有f(f(a,c)*b - f(a,b)*c,a)=0。即f(a,c)*f(b,a)=f(a,b)*f(c,a). 代入c=a+b，得
(f(a,a)+f(a,b))*f(b,a) = f(a,b)*(f(a,a)+f(b,a)),
f(a,a)*(f(a,b)-f(b,a))=0。
记集合W={a属于V|f(a,a)=0}. 显然W对数乘封闭。而由上面的式子，如果f(a,b)不等于f(b,a)，立得a,b都属于W。
再注意到f(a,a+b) = f(a,a) + f(a,b)不等于f(a,a) + f(b,a) = f(a+b,a)。从而a+b也属于W。
现在假设f不是对称的，则存在线性空间中元素a和b使得f(a,b)不等于f(b,a)，那么a,b都属于W。我们断言此时W=V。否则存在元素c属于V-W。那么对任意元素x都有f(c,x)=f(x,c)。特别地，注意到
f(a,b+c) = f(a,b) + f(a,c) = f(a,b) + f(c,a) 不等于 f(b,a) + f(c,a) = f(b+c,a)。那么b+c属于W。
下面分两种情况讨论：
（1）基域F是特征2的。那么0=f(b+c,b+c)=f(b,b)+2f(b,c)+f(c,c)=f(c,c)，与c不属于W矛盾！
（2）基域F不是特征2的。那么f(a,2b)=2f(a,b) 不等于 2f(b,a)=f(2b,a)。对a，2b和c进行上面的论证，可得2b+c属于W。
联立得到
0=f(b+c,b+c)=f(b,b)+2f(b,c)+f(c,c)=2f(b,c)+f(c,c);
0=f(2b+c,2b+c)=4f(b,b)+4(b,c)+f(c,c)=4f(b,c)+f(c,c).
则f(b,c)=f(c,c)=0，同样与c不属于W矛盾！
所以W=V。
最后如果W=V，则对于线性空间中任意元素a和b，我们有0=f(a+b,a+b) = f(a,a)+f(b,b)+f(a,b)+f(b,a)=f(a,b)+f(b,a)，从而f是反对称的。
所以f要么是对称的，要么是反对称的。
rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到：
也就是说 x’Ay=0 当且仅当 x’A’y=0
不妨设 A 非零。
把y用标准基向量代进去，知道 A 和 A’ 对应列成正比。同理对应行也成正比，所以 A’=kA，转置一下 A=kA’。把 A’ 消掉。A 非零所以 k 是正负1。
签名档
关上灯/音乐声却响起了
房间里/只有孤独成歌
又是漫漫长夜
无声地捕捉不到/灵魂的骚动
回忆还活着/活着
--陈绮贞《观察者》
我想到的一种改法是
如果 f(a,b) 不等于 f(b,a) 那么 a+b 属于 W，所以 f(a+b,a+b)=f(a,b)+f(b,a)=0。也就是说 V 是线性子空间 V_a={b属于V | f(a,b)=f(b,a)} 和 V’_a={b属于V | f(a,b)=-f(b,a)} 之并，所以至少其中一个等于 V。再考虑线性子空间 {a属于V | V_a=V} 和 {a属于V | V’_a=V}。
rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到：
中间没看懂 @@ 为什么 W 是线性子空间
考虑实平面上的二次型 diag(1,-1)，W 是两条直线 @@
签名档
刚才一个小偷溜进我家，到处找钱
后来我们一起找了起来
这其实还是有点想复杂了lol 其实只需证明不存在向量x,y,z,w使f(x,y)-f(y,x)和f(z,w)+f(w,z)均非零，故只需对<=4维线性空间上的双线性型证明结论:p
这题题设的一个推论是任意向量x关于f的正交补well-defined，无需区分左右。于是若f(x,x)非零则向量空间可分解成x生成的一维空间与其正交补的直和。接着有限维的便利是可以由此对维数归纳说明f是一个对称双线性型和一个反对称双线性型的直和，最后容易看出当前者不反对称而后者不对称的时候题设不能成立。
survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到：
不一定是有限维的啊！
我的证明：
对于线性空间中任意元素a,b,c。我们有
……
为什么他们做这么麻烦。。。
如果f(x,x)总是0那就是交错的，否则取定一个x使f(x,x)不是0，我们来证明f是对称的。
先看f(x,y)这种，如果f(x,y)=0那么由条件确实f(x,y)=f(y,x)；对一般的y，由于f(x,x)不是0，你把y加上适当倍数的x就会化归到前一句话。所以总是f(x,y)=f(y,x)。
那么要证明对f(y,z)=f(z,y)。如果f(x,y)≠0，由于你已经知道f(y,x)=f(x,y)，所以把z加上适当倍数的x就能和y正交从而得到等式；如果f(x,y)=0你把y加上一个x就化归到上一句话了。
所以存在x使得f(x,x)≠0的时候总是对称的。
hemei (miverr) 在 ta 的帖子中提到：
对于双线性函数f(x,y)，如果由f(x,y)=0总能推出f(y,x)=0，证明f是对称的或者反对称的。
赞
其实倒数第二段就是存在a,b使得f(y+ax,z+bx)=0，而由前段知此零点处的对称性推出f(y,z)=f(z,y)。这个存在性explicitly讨论出来反而看着有点迷
当然这本来就是迷神的层<_<
shuxuemi (数学迷) 在 ta 的帖子中提到：
为什么他们做这么麻烦。。。
如果f(x,x)总是0那就是交错的，否则取定一个x使f(x,x)不是0，我们来证明f是对称的。
先看f(x,y)这种，如果f(x,y)=0那么由条件确实f(x,y)=f(y,x)；对一般的y，由于f(x,x)不是0，你把y加上适当倍数的x就会化归到前一句话。所以总是f(x,y)=f(y,x)。
……
或者也可以这样：前两段也蕴含在2维空间上结论成立；对任意y,z存在a,b使得f(y+ax,z+bx)\neq -f(z+bx,y+ax)，于是f(y+ax,z+bx)=f(z+bx,y+ax)，f(y,z)=f(z,y)
shuxuemi (数学迷) 在 ta 的帖子中提到：
为什么他们做这么麻烦。。。
如果f(x,x)总是0那就是交错的，否则取定一个x使f(x,x)不是0，我们来证明f是对称的。
先看f(x,y)这种，如果f(x,y)=0那么由条件确实f(x,y)=f(y,x)；对一般的y，由于f(x,x)不是0，你把y加上适当倍数的x就会化归到前一句话。所以总是f(x,y)=f(y,x)。
……
其实撒大师3l一开头的式子大概也有点把零点explicitly写出来的意思，可见有时候太explicit反而不见得清晰易懂
然后他的讨论应该主要是没有注意到char 2时对称反对称是一样的，于是直接reduce到2维情况了
yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到：
赞
其实倒数第二段就是存在a,b使得f(y+ax,z+bx)=0，而由前段知此零点处的对称性推出f(y,z)=f(z,y)。这个存在性explicitly讨论出来反而看着有点迷
当然这本来就是迷神的层<_<