菜鸡求助数学分析难题 - 数学科学学院(SMS)版 - 北大未名BBS
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菜鸡求助数学分析难题

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楼主

shaadow [离线]

Rivendell

1.4一般站友

发帖数:69 原创分:0
<ASCIIArt> 1楼

求求大佬看看呀~

发表于2021-05-10 23:44:37

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:333 原创分:2
<ASCIIArt> 2楼

答案是P_n(x)=-\sum_{k=1}^n\frac{(2k-1)!!}{(-2)^k}x^{2k+1},不过这层的原解法完全不对... 其实若有了F在0处光滑再由方程F'=1-2/x^3*F确定Taylor多项式的系数即可,而光滑性参见7l


shaadow (Rivendell) 在 ta 的帖子中提到:

求求大佬看看呀~

签名档

贵站的LaTeXify功能略鬼畜,还是请大家用人脑/自家工具/https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php编译吧

 最后修改于2021-05-31 22:33:54
  • 发表于2021-05-23 06:32:44
楼主

shaadow [离线]

Rivendell

1.4一般站友

发帖数:69 原创分:0
<ASCIIArt> 3楼

谢谢大佬!厉害!

yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到:

咦这题还没有人写,那我来写一下:首先F(x)在R_+上可导,且满足微分方程

F'=1-2/x^3*F

用幂级数造出该方程在R_+上的一个特解:G(x)=-\sum_{n\geq 3\text{ odd}}\frac{(-2)^{(n-5)/2}}{(n-2)!!}x^n,则方程的通解为G(x)+Ce^{1/x^2}。易见当x->0,F(x)=O(x),而方程的解中只有G(x)满足这一性质,故F=G,而题意所指的P_n就是上述展开式中的前n项和

……

发表于2021-05-23 10:06:50

franklinw [离线]

franklin1020

2.7一般站友

发帖数:87 原创分:0
<ASCIIArt> 4楼

F可以看成\int_0^x e^{-1/t^2}dt和e^{1/x^2}的乘积,然后分部积分,就可以了。

yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到:

咦这题还没有人写,那我来写一下:首先F(x)在R_+上可导,且满足微分方程

F'=1-2/x^3*F

用幂级数造出该方程在R_+上的一个特解:G(x)=-\sum_{n\geq 3\text{ odd}}\frac{(-2)^{(n-5)/2}}{(n-2)!!}x^n,则方程的通解为G(x)+Ce^{1/x^2}。易见当x->0,F(x)=O(x),而方程的解中只有G(x)满足这一性质,故F=G,而题意所指的P_n就是上述展开式中的前n项和

……

发表于2021-05-23 11:26:38

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:333 原创分:2
<ASCIIArt> 5楼

额怎么分布积分


franklinw (franklin1020) 在 ta 的帖子中提到:

F可以看成\int_0^x e^{-1/t^2}dt和e^{1/x^2}的乘积,然后分部积分,就可以了。

 最后修改于2021-05-23 21:34:04
  • 发表于2021-05-23 21:14:41

rgds [离线]

如果当时|捏不到的小道长

8.7本站元老

发帖数:2.1万 原创分:6
<ASCIIArt> 6楼

写成 t^3 / 2 和 2exp(-1/t^2) / t^3 的乘积吧,这样后面这个就可以求原函数


最后积分余项也很好做估计


yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到:

额怎么分布积分

签名档

大家别追公交了





追我吧

发表于2021-05-25 01:54:18

pinwheel [离线]

pinwheel

2.0一般站友

发帖数:14 原创分:0
<ASCIIArt> 7楼

做个变量代换,令y=t^{-2}-x^{-2}, 原积分便可以化成一个很简单的e^{-y}*(1+yx^2)^{-3/2}的积分乘以一个立方项。展开即可的所求多项式。


shaadow (Rivendell) 在 ta 的帖子中提到:

求求大佬看看呀~

发表于2021-05-25 10:47:54

rgds [离线]

如果当时|捏不到的小道长

8.7本站元老

发帖数:2.1万 原创分:6
<ASCIIArt> 8楼

惊了


准备回去重修数分了


pinwheel (pinwheel) 在 ta 的帖子中提到:

做个变量代换,令y=t^{-2}-x^{-2}, 原积分便可以化成一个很简单的e^{-y}*(1+yx^2)^{-3/2}的积分乘以一个立方项。展开即可的所求多项式。

签名档

就这样过了十二点还没有一个人祝我生日快乐





可能因为今天不是我生日吧

发表于2021-05-25 11:11:33

rgds [离线]

如果当时|捏不到的小道长

8.7本站元老

发帖数:2.1万 原创分:6
<ASCIIArt> 9楼

@@


为什么我感觉双阶乘应该出现在分子上,那个-2在分母上


所以这函数应该也不解析


yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到:

咦这题还没有人写,那我来写一下:首先F(x)在R_+上可导,且满足微分方程

F'=1-2/x^3*F

用幂级数造出该方程在R_+上的一个特解:G(x)=-\sum_{n\geq 3\text{ odd}}\frac{(-2)^{(n-5)/2}}{(n-2)!!}x^n,则方程的通解为G(x)+Ce^{1/x^2}。易见当x->0,F(x)=O(x),而方程的解中只有G(x)满足这一性质,故F=G,而题意所指的P_n就是上述展开式中的前n项和

……

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天青色等艳遇~而我在等你~~

发表于2021-05-25 13:59:19

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:333 原创分:2
<ASCIIArt> 10楼

这样转化出另一个积分-\int_0^x 3t^2/2*e^{-1/t^2}dt... 有什么合算的么?

Anyway我一开始以为4l是解释2l末尾的问题,然而如楼上所说解析性根本是不存在的...


rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

写成 t^3 / 2 和 2exp(-1/t^2) / t^3 的乘积吧,这样后面这个就可以求原函数


最后积分余项也很好做估计

 最后修改于2021-05-30 20:20:15
  • 发表于2021-05-30 19:55:53

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:333 原创分:2
<ASCIIArt> 11楼

你说的都对... 被2l的自己zz哭了

rgds (如果当时|捏不到的小道长) 在 ta 的帖子中提到:

@@


为什么我感觉双阶乘应该出现在分子上,那个-2在分母上


所以这函数应该也不解析

所以2l也整个儿break down了...

发表于2021-05-30 20:42:29
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