求助一道群论的题
[复制链接] 分享：
结论是肯定的。方便起见用g*表示G中任意元素g的逆。
S与gS有交，则存在S的元素s1和s2使得gs1=s2, g=s2s1*。注意到
G = s2*G = s2*(S并gS) = s2*S并s1*S。
引理1：对任意的a属于G，如果a不属于S，则s1s2*a,s2s1*a都属于S。
引理1的证明：如果a不属于S，则s2*a不属于s2*S，那么它必属于s1*S。两边左乘s1，则s1s2*a属于S。另一半完全对称可证。
现在假设G的元素h不属于SS。注意到对于任意s属于S，有h=s(s*h)=(hs*)s，推出s*h,hs*都不属于S。
那么对a=s*h用引理1，得到s1s2*a=s1s2*s*h属于S。那么h(s1s2*s*h)*不属于S。注意h(s1s2*s*h)*=hh*ss2s1*=ss2s1*。
那么就得到对于任意的s属于S，有ss2s1*不属于S。
下面我们导出矛盾。一方面令s=s1，得到s1s2s1*不属于S。另一方面，令s=s2，得到s2s2s1*也不属于S。再对a=s2s2s1*用引理1，得到
s1s2*a=s1s2*s2s2s1*=s1s2s1*属于S，矛盾！所以上述元素h不存在，SS=G。
HappyNewYear (eden) 在 ta 的帖子中提到：
G是一个无限群，S是群G的子集，若存在G中元素g使得S与gS有交，S与gS的并是G，那么是否可以证明SS=G(ie. 对任意s属于G，存在a,b属于S使得ab=s)，或举出反例？
签名档
即使是无声的停顿/也是最完美的表情
--陈绮贞《孤岛》
赞
狗尾续貂地用陪集写就是 S并gS=G <=> g^{-1}S并S=G，在此条件下
Sg^{-1}交S为空 <=> S交Sg为空 => Sg含于g^{-1}S <=> gSg含于S => gSg交Sg为空 <=> gS交S为空，
故在题设条件下Sg^{-1}交S非空
然后 h不属于SS => S^{-1}h交S=hS^{-1}交S为空 => S^{-1}h含于g^{-1}S <=> Sg^{-1}含于hS^{-1} => Sg^{-1}交S为空，矛盾
survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到：
结论是肯定的。方便起见用g*表示G中任意元素g的逆。
S与gS有交，则存在S的元素s1和s2使得gs1=s2, g=s2s1*。注意到
G = s2*G = s2*(S并gS) = s2*S并s1*S。
……
签名档
贵站的LaTeXify功能略鬼畜，还是请大家用人脑/自家工具/https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php编译吧
我用陪集还是不彻底啊，这个做法简洁多了！
yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到：
赞
狗尾续貂地用陪集写就是 S并gS=G <=> g^{-1}S并S=G，在此条件下
Sg^{-1}交S为空 <=> S交Sg为空 => Sg含于g^{-1}S <=> gSg含于S => gSg交Sg为空 <=> gS交S为空，
……
签名档
我捕捉精采的画面 可是一闭上眼 颜色就退掉了
我穿上最舒适的T-shirt 可是一脱下来 身体都僵硬了
我选择我最想要的 可是一个人呢 反而笑开了
我丢弃对我最好的 可是一关上灯 全部都回来了
--陈绮贞《80%完美的日子》
