求助一道群论的题 - 数学(Mathematics)版 - 北大未名BBS
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求助一道群论的题

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楼主

HappyNewYear [离线]

eden

0.5新手上路

发帖数:3 原创分:0
<ASCIIArt> 1楼

G是一个无限群,S是群G的子集,若存在G中元素g使得S与gS有交,S与gS的并是G,那么是否可以证明SS=G(ie. 对任意s属于G,存在a,b属于S使得ab=s),或举出反例?

发表于2020-12-05 22:14:52

survivor [离线]

TEETOTALER|每天都是一种练习

5.2亚洲

发帖数:1.0万 原创分:30
<ASCIIArt> 2楼

结论是肯定的。方便起见用g*表示G中任意元素g的逆。


S与gS有交,则存在S的元素s1和s2使得gs1=s2, g=s2s1*。注意到


G = s2*G = s2*(S并gS) = s2*S并s1*S。


引理1:对任意的a属于G,如果a不属于S,则s1s2*a,s2s1*a都属于S。


引理1的证明:如果a不属于S,则s2*a不属于s2*S,那么它必属于s1*S。两边左乘s1,则s1s2*a属于S。另一半完全对称可证。


现在假设G的元素h不属于SS。注意到对于任意s属于S,有h=s(s*h)=(hs*)s,推出s*h,hs*都不属于S。


那么对a=s*h用引理1,得到s1s2*a=s1s2*s*h属于S。那么h(s1s2*s*h)*不属于S。注意h(s1s2*s*h)*=hh*ss2s1*=ss2s1*。


那么就得到对于任意的s属于S,有ss2s1*不属于S。


下面我们导出矛盾。一方面令s=s1,得到s1s2s1*不属于S。另一方面,令s=s2,得到s2s2s1*也不属于S。再对a=s2s2s1*用引理1,得到


s1s2*a=s1s2*s2s2s1*=s1s2s1*属于S,矛盾!所以上述元素h不存在,SS=G。


HappyNewYear (eden) 在 ta 的帖子中提到:

G是一个无限群,S是群G的子集,若存在G中元素g使得S与gS有交,S与gS的并是G,那么是否可以证明SS=G(ie. 对任意s属于G,存在a,b属于S使得ab=s),或举出反例?

签名档

即使是无声的停顿/也是最完美的表情

--陈绮贞《孤岛》

发表于2020-12-07 00:47:57

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:329 原创分:2
<ASCIIArt> 3楼


狗尾续貂地用陪集写就是 S并gS=G <=> g^{-1}S并S=G,在此条件下

Sg^{-1}交S为空 <=> S交Sg为空 => Sg含于g^{-1}S <=> gSg含于S => gSg交Sg为空 <=> gS交S为空,

故在题设条件下Sg^{-1}交S非空


然后 h不属于SS => S^{-1}h交S=hS^{-1}交S为空 => S^{-1}h含于g^{-1}S <=> Sg^{-1}含于hS^{-1} => Sg^{-1}交S为空,矛盾

survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到:

结论是肯定的。方便起见用g*表示G中任意元素g的逆。

S与gS有交,则存在S的元素s1和s2使得gs1=s2, g=s2s1*。注意到

G = s2*G = s2*(S并gS) = s2*S并s1*S。

……

签名档

贵站的LaTeXify功能略鬼畜,还是请大家用人脑/自家工具/https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php编译吧

发表于2020-12-07 03:23:56

survivor [离线]

TEETOTALER|每天都是一种练习

5.2亚洲

发帖数:1.0万 原创分:30
<ASCIIArt> 4楼

我用陪集还是不彻底啊,这个做法简洁多了!

yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到:

狗尾续貂地用陪集写就是 S并gS=G <=> g^{-1}S并S=G,在此条件下

Sg^{-1}交S为空 <=> S交Sg为空 => Sg含于g^{-1}S <=> gSg含于S => gSg交Sg为空 <=> gS交S为空,

……

签名档

我捕捉精采的画面 可是一闭上眼 颜色就退掉了

我穿上最舒适的T-shirt 可是一脱下来 身体都僵硬了

我选择我最想要的 可是一个人呢 反而笑开了

我丢弃对我最好的 可是一关上灯 全部都回来了

--陈绮贞《80%完美的日子》

发表于2020-12-07 10:31:56

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:329 原创分:2
<ASCIIArt> 5楼

过谦过谦,其实3l完全是比照着2l整理出来的,呈现起来短但直接这么推的话歧路还是挺多的,实际操作起来可能还是靠2l那样具体写出元素manipulate来把握


survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到:

我用陪集还是不彻底啊,这个做法简洁多了!

 最后修改于2020-12-07 11:06:31
  • 发表于2020-12-07 11:04:38

wenxijc [离线]

snowflakes|小雪

4.6蓝猫

发帖数:4584 原创分:27
<ASCIIArt> 6楼

(活捉失踪网友)

yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到:

过谦过谦,其实3l完全是比照着2l整理出来的,呈现起来短但直接这么推的话歧路还是挺多的,实际操作起来可能还是靠2l那样具体写出元素manipulate来把握

发表于2020-12-07 12:27:10

yulx [离线]

SMS10

3.2声名鹊起

发帖数:329 原创分:2
<ASCIIArt> 7楼

我在TYB也冒泡了,现在的Math上很难不(群体)失踪...

wenxijc (snowflakes|小雪) 在 ta 的帖子中提到:

(活捉失踪网友)

 最后修改于2020-12-08 02:35:15
  • 发表于2020-12-08 02:35:01
楼主

HappyNewYear [离线]

eden

0.5新手上路

发帖数:3 原创分:0
<ASCIIArt> 8楼

感谢!

survivor (TEETOTALER|每天都是一种练习) 在 ta 的帖子中提到:

结论是肯定的。方便起见用g*表示G中任意元素g的逆。

S与gS有交,则存在S的元素s1和s2使得gs1=s2, g=s2s1*。注意到

G = s2*G = s2*(S并gS) = s2*S并s1*S。

……

发表于2020-12-08 10:15:46
楼主

HappyNewYear [离线]

eden

0.5新手上路

发帖数:3 原创分:0
<ASCIIArt> 9楼

感谢!

yulx (SMS10) 在 ta 的帖子中提到:

狗尾续貂地用陪集写就是 S并gS=G <=> g^{-1}S并S=G,在此条件下

Sg^{-1}交S为空 <=> S交Sg为空 => Sg含于g^{-1}S <=> gSg含于S => gSg交Sg为空 <=> gS交S为空,

……

发表于2020-12-08 10:16:06
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