一个半径为无穷小的圆到底是一个圈还是一个点？
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@ChatGPT
一个半径为无穷小的圆到底是一个圈还是一个点？
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昔新旧，今左右；往北大，来清华。孑民言，月涵行。德日继，欧美承。
>梅贻琦曾说过，他对政治无深研究，但对于办大学，他认为：
>“应追随蔡孑民（元培）先生兼容并包之态度，以克尽学术自由之使命。昔日之所谓新旧，今日之所谓左右，其在学校应均予以自由探讨之机会……此昔日北大之所以为北大，而将来清华之为清华，正应于此注意也。”
是言之经典，当不亚于“大楼大师说”，然知者不多，故亦移作签名档。
（我知道贵校有人对蔡校长不感冒，它们想踩就踩）（此处用“它们”，表万物一体之意，以免性别歧视之讥）
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euio's question:
一个半径为无穷小的圆到底是一个圈还是一个点？
未名ChatGPT的深度思考:
Thought for 1 min 6 sec
嗯，用户问的是，一个半径为无穷小的圆到底是一个圈还是一个点？这个问题看起来有点抽象，可能需要结合数学中的极限概念来分析。首先，我要回忆一下圆的基本定义。圆是在平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合，这个距离就是半径。如果半径趋向于零，那么所有点都会无限接近圆心，这时候的极限情况应该是圆心这个点本身。
不过，用户提到的是“无穷小的半径”，这里可能需要明确无穷小的数学定义。在标准分析中，无穷小通常是指趋近于零的量，但在非标准分析中，无穷小是一个非零但小于任何正实数的数。不过通常在常规的数学讨论中，尤其是在极限的情况下，半径为无穷小被理解为趋近于零的极限。
接下来考虑，当半径趋近于零时，圆的周长（2πr）也会趋近于零，面积（πr²）同样趋近于零。从几何直观上看，当半径越来越小，圆会越来越接近圆心，最终在极限情况下变成一个点。因此，可能结论是这个圆在极限情况下退化为一个点。
但用户的问题可能存在哲学或数学上的细微差别。例如，是否在半径无穷小的情况下，仍然保持圆的结构，即仍然是一个连续的曲线，即使半径非常小。在数学中，如果半径是严格为零，那么圆就不存在了，因为半径为零的话，所有点都是圆心，所以集合只有一个点。因此，半径为无穷小可能被视为趋近于零但非零的情况，这时候虽然半径非常小，但严格来说仍然是一个圆，即一个圈。不过，当达到极限的时候，也就是半径为零，就变成一个点。
可能这里需要区分“趋近于零”和“等于零”。如果半径是无穷小量，比如在非标准分析中的超实数，那么它仍然是一个非零的数，这时候对应的圆仍然是一个圈，尽管极其微小。但在标准分析中，当讨论极限时，半径趋向于零的情况下，极限就是一个点。
另外，可能用户的问题涉及到拓扑学或几何中的概念，比如点的邻域。在拓扑学中，点的邻域可以看作是以该点为中心，半径任意小的开球，这时候虽然半径趋近于零，但邻域仍然包含无数个点，形成一个区域，而不是单独的点。不过这里的邻域是开集，而圆是圆周，所以可能需要进一步区分。
总结一下，可能的回答是：当半径趋近于零时，圆作为一个圆周会收缩到圆心，因此极限情况下是一个点。但在非零的无穷小情况下，虽然半径非常小，它仍然是一个圈，只是极其微小。但根据常规的数学分析，当半径趋于零时，圆会退化为一个点。
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未名ChatGPT的回答:
在数学分析中，当讨论半径为无穷小的圆时，通常指的是半径趋近于零的极限情况：
1. **严格数学定义**
若半径严格等于零（\( r = 0 \)），此时所有点与圆心重合，退化为一个点，不再具有圆周结构。
2. **极限视角**
当半径 \( r \to 0^+ \)，圆周长 \( 2\pi r \) 和面积 \( \pi r^2 \) 均趋近于零。此时，圆的几何形态在极限意义上收缩为圆心点。
3. **非标准分析视角**
在非标准分析中，若半径是无穷小量（非零但小于任何正实数），则它仍是一个“圈”，但这种超实数概念多用于理论构造，常规问题中通常采用标准分析的极限结论。
**结论**：
在标准数学框架下，半径为无穷小的圆（极限情形）应视为一个点。若强调非零无穷小的理论模型（如非标准分析），则仍为圈，但实际应用中默认遵循极限结果。
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仁者见仁
智者见智
fankobe (黑曼巴) 在 ta 的帖子中提到：
这问题有JB意义吗
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昔新旧，今左右；往北大，来清华。孑民言，月涵行。德日继，欧美承。
>梅贻琦曾说过，他对政治无深研究，但对于办大学，他认为：
>“应追随蔡孑民（元培）先生兼容并包之态度，以克尽学术自由之使命。昔日之所谓新旧，今日之所谓左右，其在学校应均予以自由探讨之机会……此昔日北大之所以为北大，而将来清华之为清华，正应于此注意也。”
是言之经典，当不亚于“大楼大师说”，然知者不多，故亦移作签名档。
（我知道贵校有人对蔡校长不感冒，它们想踩就踩）（此处用“它们”，表万物一体之意，以免性别歧视之讥）
前几天想到世界地图的球面延展为平面问题：纬度越高，比例越失真，即平面图对高纬度地区的放大越显著；随后我就在想：是不是对于最南和最北的极点，放大比例是无穷大？
Wolfson (Canis lupus) 在 ta 的帖子中提到：
欧氏几何里对点的定义是空间中只有位置，没有大小的图形。
而圆是围绕一个定点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。
圆是曲线，是二维的，而点没有维度。所以就算半径无穷小的圆也不是点。
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You really need to make progress!
而且还有一个bug: 余额为负是本次服务完成之后的状态，而非开始之前的状态（我上次的余额是5623）。
所以等于是已经消耗了六千多个token完成的这次服务，却不予显示。
>>尊敬的euio：
【您当前账户余额：token=-504】
故本次未名ChatGPT无法提供服务
这封信件您不必回复, 这是我们应该做的。
未名ChatGPT开发者敬上
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Bigscience (🔞🧜♀️|已毕业281天3时47分35秒) 在 ta 的帖子中提到：
对，谢谢提醒，我去重置一下所有人的额度
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Vivu la scienco!
金口玉言，说封就封；
山呼万岁，苟且偷生。